协方差和皮尔逊相关系数

协方差（Covariance）分析实例

协方差用于衡量两个变量的共同变化方向： • 正值：变量同向变化（一个变量增大，另一个也倾向于增大）。 • 负值：变量反向变化（一个变量增大，另一个倾向于减小）。 • 绝对值大小：反映变量变化的协同程度（但受量纲影响，不能直接比较不同单位变量）。

以下通过具体示例演示协方差的计算和解释。

示例背景

研究某班级学生的学习时间（小时/周）与考试成绩（满分100分）的关系，收集5名学生的数据：

学生	学习时间（X）	考试成绩（Y）
A	2	60
B	3	65
C	5	75
D	7	85
E	9	95

1. 协方差计算公式

样本协方差公式：

\text{Cov}(X, Y) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})

• $\bar{X}, \bar{Y}$ ：变量均值 • $n$ ：样本量

2. 手动计算步骤

(1) 计算均值

\bar{X} = \frac{2 + 3 + 5 + 7 + 9}{5} = 5.2

\bar{Y} = \frac{60 + 65 + 75 + 85 + 95}{5} = 76

(2) 计算每个样本的偏差乘积

学生	$X_i - \bar{X}$	$Y_i - \bar{Y}$	偏差乘积 $(X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})$
A	2 - 5.2 = -3.2	60 - 76 = -16	(-3.2)(-16) = 51.2
B	3 - 5.2 = -2.2	65 - 76 = -11	(-2.2)(-11) = 24.2
C	5 - 5.2 = -0.2	75 - 76 = -1	(-0.2)(-1) = 0.2
D	7 - 5.2 = 1.8	85 - 76 = 9	(1.8)(9) = 16.2
E	9 - 5.2 = 3.8	95 - 76 = 19	(3.8)(19) = 72.2

(3) 求和并计算协方差

\sum (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) = 51.2 + 24.2 + 0.2 + 16.2 + 72.2 = 163.0

\text{Cov}(X, Y) = \frac{163.0}{5-1} = 40.75

3. 结果解释

• 协方差值为 40.75：正数表明学习时间与考试成绩呈正相关，即学习时间增加，成绩倾向于提高。 • 数值大小：协方差值本身没有标准化，无法直接判断相关性强弱（需结合相关系数）。

4. 使用Python验证

通过Python的numpy库计算协方差：

python
import numpy as np

# 数据
X = np.array([2, 3, 5, 7, 9])
Y = np.array([60, 65, 75, 85, 95])

# 计算协方差矩阵
cov_matrix = np.cov(X, Y, ddof=1)  # ddof=1表示样本方差（分母n-1）
cov_xy = cov_matrix[0, 1]

print("协方差 Cov(X, Y) =", cov_xy)

输出：


协方差 Cov(X, Y) = 40.75

5. 协方差 vs 相关系数

为消除量纲影响，进一步计算皮尔逊相关系数（标准化协方差）：

r = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}

其中， $\sigma_X, \sigma_Y$ 为标准差。

(1) 计算标准差

\sigma_X = \sqrt{\frac{(2-5.2)2 + (3-5.2)2 + \cdots + (9-5.2)2}{4}} = 3.033

\sigma_Y = \sqrt{\frac{(60-76)2 + (65-76)2 + \cdots + (95-76)2}{4}} = 14.790

(2) 计算相关系数

r = \frac{40.75}{3.033 \times 14.790} \approx 0.976

• 结果解释：相关系数接近1，表明学习时间与考试成绩存在极强的正线性关系。

6. 实际应用意义

• 教育策略：学校可鼓励学生增加学习时间以提高成绩。 • 资源分配：针对学习时间短的学生提供额外辅导。 • 局限性：协方差和相关系数仅反映线性关系，需结合散点图检查非线性模式。

总结

• 协方差：判断变量变化方向，数值受量纲影响。 • 相关系数：标准化协方差，量化相关性强度（-1到1）。 • 分析流程：先计算协方差判断方向，再通过相关系数评估强度，最后结合业务背景解读。

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